เวกเตอร์

posted on 23 Dec 2007 14:02 by kent2230

 

การบอกปริมาณบางอย่างที่ต้องระบุทั้งขนาดและทิศทาง เช่นความเร็ว ความเร่ง แรง จะเรียก

ปริมาณเหล่านี้ว่า ปริมาณเวกเตอร์ (vector) จะใช้ a ,b ,g ,… แทนเวกเตอร์ และใช้ a , b, c,…

แทนสเกลาร์

เวกเตอร์ในระนาบ (vectors in the Plane)

เซตของจุดในระนาบ จะสมนัยกับเซตของคู่อันดับ (x,y) โดยที่ x, y เป็นจำนวนจริง ดังนั้น จุด P

 

หนึ่งจุด จะสมนัยกับคู่อันดับ (x,y) ได้ 1 คู่เท่านั้น เรียก (x,y) ว่าพิกัด (coordinate) ของจุด P ดังนั้น

 

จุด P ซึ่งมีพิกัด (x,y) จะเขียนแทนด้วย P(x,y) หรือ (x,y) จะใช้ R2 แทนเซตของจุดในระนาบและ

 

เรียก R2 ว่าปริภูมิ 2 มิติ (2 space)

 

พิจารณาเมตริกซ์ขนาด 2x1, X =  โดยที่ x, y Î R ให้ X สมนัยกับส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง

 

กำกับ ที่มีจุดเริ่มต้นO (0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) เขียนแทนด้วย

 

 

 

ลูกศรบน OP เป็นการบอกทิศทางจาก O ไป P

 

ขนาด (magnitude) ของส่วนของเส้นตรง คือความยาวของส่วนของเส้นตรง

 

ดังนั้นส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ สามารถใช้อธิบายแรง ความเร็ว ความเร่ง

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ มีจุดเริ่มต้น O(0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) จะสมนัยกับ

เมตริกซ์

 

 

นิยาม  เวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ aโดยที่ x,y Î R เรียก x,y ว่าเป็นส่วนประกอบ

ของ a y

 

เซตของเวกเตอร์ในระนาบจะสมนัย 1-1 กับเซตของส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ ดังนั้นส่วน

 

ของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับและเวกเตอร์จึงใช้แทนกันได้ ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับจะ

 

เรียกว่าเวกเตอร์

 

 

เนื่องจากเวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ขนาด 2X1 ดังนั้น

 

เวกเตอร์ a 1 = และ a 2 =

 

จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ x1 = x2 และ y1 = y2

 

ตัวอย่าง เวกเตอร์

 

 

จากคุณสมบัติการเท่ากันของเวเตอร์ จะได้

 

a+b = 3

 

a-b = 2

 

ดังนั้น a = 5/2 และ b = 1/2

 

ให้ a =   และ b = เป็นเวกเตอร์ ในระนาบผลบวก (sum) ของ a และ b คือ

 

 

เวกเตอร์ 

 

a +b =

ตัวอย่าง ให้ u = และ v = จงหา u +v

                  

                 

                   u + v = =   

 

 

 

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ g ขนานกับ b และมีขนาดความยาวเท่ากับ b

 

จุดเริ่มต้นของ g คือจุด (x1,y1) ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของ a และจุดสิ้นสุดของ g คือ (x1+x2, y1+y2)ซึ่ง

 

คือ 

 

a + b นั่นเอง หรือ a + b เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของ a และ b นั่นเอง

 

 

 

 

ให้ aเป็นเวกเตอร์ และ c เป็นสเกลาร์ พหุคูณสเกลาร์ ของ a คือ c =  

 

ถ้า c > 0 แล้ว ca จะมีทิศทางเดียวกันกับ a

 

ถ้า c < 0 แล้ว ca จะมีทิศทางตรงข้ามกับ a

ตัวอย่าง ให้ c = 2 , d = -3 และ U = จงหา cU และ dU

 

cU  =     =

 

dU =    =

 

 

 

 

 

สำหรับเวกเตอร์ a + (-1) b เขียนแทนด้วย a - b จะเรียกว่าผลต่างระหว่าง a และ b

 

 

 

 

เวกเตอร์ใน R3

 

จากการศึกษาเวกเตอร์ในระนาบสามารถขยายต่อสู่เวกเตอร์ใน R3 ด้วยการกำหนดระบบโคออดิ

เนต (coordinate system) โดยเลือกจุด origin ที่ (0,0,0)และกำหนดเส้นตรง 3 เส้นให้ตั้งฉากซึ่งกัน

และกันออกจุด origin นั้น จะเรียกเส้นตรงทั้ง 3 ว่า coordinate axes และเรียกเส้นตรงแต่ละเส้นว่า

x-axes , y-axes และ z-axes ตามลำดับ

 

ระบบโคออดิเนตเป็นดังภาพ รูป ก. เรียกว่า right-handed coordinate system

 

รูป ข. เรียกว่า left-hand coordinate system

 

รูป ค. แสดงทิศทางการหมุนของแกน z เมื่อ

หมุนแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

 

 

 

แต่ละจุดใน R3 สามารถแทนด้วยคู่ลำดับ (x,y,z) หรือ P(x,y,z)

 

เซตของทุกจุดใน R3 จะถูกแทนด้วย R3 หรือ 3-space

 

เวกเตอร์ใน R3 สามารถแทนด้วยเมตริกซ์ 3X1 ดังนี้

 

X =  

 

เมื่อ x,y,z เป็นสมาชิกของจำนวนจริง และเรียก x,y,z ว่าเป็นคอมโพเนต (component) ของเวกเตอร์

 

X

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง  หมายถึง ส่วนหางของเส้นตรงอยู่ที่จุด (0,0,0) และส่วนหัวของเส้น

ตรงอยู่ที่จุด P(x,y,z) สามารถแทนส่วนของเส้นตรงด้วยเวกเตอร์ X ดังรูป 99 เวกเตอร์ X สามารถ

เขียนแทนด้วย (x,y,z)

 

สำหรับส่วนของเส้นตรง ซึ่งเริ่มต้นจากจุด P(x,y,z) และสิ้นสุดที่จุด Q (x,y,z) ใน R3 คอมโพ

เนตของเวกเตอร์ประกอบด้วย x - x, y – y, z – z

หมายเหตุ เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะเท่ากันหากคอมโพเนตของเวกเตอร์เท่ากัน

 

ดังนั้นเวกเตอร์ ซึ่งหมายถึง ปลายของเวกเตอร์อยู่ที่จุด (0,0,0) หัวของเวกเตอร์อยู่

 

ที่ P’’(x –x , y – y, z –z)  จะเท่ากับ

 

 

 

 

 

 

ถ้า U = และ V =  เป็นเวกเตอร์ใน R 3 และ c เป็นสเกลาร์ใดๆ ผลบวกเวก

 

เตอร์ และผลคูณสเกลาร์ได้รับการนิยามดังนี้

U+V =  และ cU =

 

 

ตัวอย่าง ให้

 

U =  V =

 

จงหาค่า U + V , -2U, 3U – 2V

 

U + V = =

 

-2 U=  =

 

3U – 2V = =

 

เวกเตอร์ศูนย์ใน R3

 

0 =

 

สำหรับเวกเตอร์ U ใดๆใน R3 U + 0 = U

 

เวกเตอร์ในทิศทางตรงข้ามของ U =   คือ
U =  และ U + -U = 0

 

ทฤษฎีบท ถ้า U, V และ W เป็นเวกเตอร์ใน R2 หรือ R3 c และ d เป็นสเกลาร์ใดๆใน R จะได้ว่า

 

  1. U + V = V +U
  2. U + (V+W) = (U+V) + W
  3. U + 0 = 0 + U = U
  4. U + (-U) = 0
  5. c(U+V) = cU + cV
  6. (c+d)U = cU + dU
  7. c(dU) = (cd)U
  8. 1U = U

 

 

ปริภูมิเวกเตอร์

 

นิยาม ให้ V ¹ F และมีการดำเนินการ 2 ชนิดบน V เรียกว่า การบวกเวกเตอร์ (vector addition)

และ การคูณด้วยสเกลาร์ (scalar multiplication) ซึ่งเขียนแทนด้วย Å  และÄ   ตามลำดับ และ

สอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้

 

  1. a Å b Î V
  2. a Å b = b Å a
  3. (a Å b ) Å g = a Å (b Å g )
  4. มี q ที่เป็นสมาชิกใน V ซึ่ง a Å q = a สำหรับทุก a Î V
  5. q นี้มีชื่อเรียกว่า เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector)

    5. แต่ละสมาชิก a Î V จะมีสมาชิกซึ่งเขียนแทนด้วย - a โดยที่ a Å (-a ) = q จะเรียกว่า -a ว่าเวกเตอร์ผกผันของ a ภายใต้ Å

    6. c Ä a Î V

    7. c Ä (a Å b ) = (c Ä a ) Å (c Ä b )

    8. (c+d) Ä a = (c Ä a ) Å (d Ä a )

    9. c Ä (d Ä a ) = (c Ä d) Ä a

    10. 1Ä  a = a

 

 

เรียก (V, Å , Ä ) ว่าปริภูมิเวกเตอร์

 

ตัวอย่าง ให้ Fn เป็นสมาชิกของ V โดยที่ V เป็นเซตของเมตริกซ์ขนาด nX1 และกำหนดการบวก

การคูณ ดังนี้

 

  Å     =

 

และ

 

c Ä =

 

โดยที่ cÎ R

 

(V, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์ หรือไม่

 

ตัวอย่าง ให้ Fn เป็นสมาชิกของ V โดยที่ V เป็นเซตของเมตริกซ์ขนาด 1Xn และกำหนดการบวก

การคูณ ดังนี้

 

[a1, a2, … , an] Å [b1,b2,…,bn] = [a1+b1,a2+b2,…,an+bn]

 

c Ä [a1 , a2, …,an] = [ca1,ca2,…,can]

 

(V, Å , Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

ตัวอย่าง ให้ F เป็นสมาชิกของ R โดยที่R เป็นเซตของจำนวนจริง กำหนดการบวก การคูณ

สำหรับ a ,b Î R ดังนี้

a Å b = a - b (Å ในที่นี้คือ การลบของจำนวนจริง)

 

และ c Ä a = c · a (Ä ในที่นี้คือ การคูณของจำนวนจริง)

 

(R, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

เนื่องจาก a Å b = a - b และ b Å a = b - a แต่ a - b ¹ b - a

 

ดังนั้น a Å b ¹ b Å a

 

สรุปได้ว่า (R, Å ,Ä ) ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์

 

 

 

ตัวอย่าง ให้ V = {(x,y,z) | x,y,z Î R} กำหนดการบวกและการคูณ ดังนี้

 

(x, y, z) Å (x ,y ,z) = (x, y+y , z+z)

 

c Ä (x, y, z) = (cx, cy, cz)

 

(V, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

ให้ u = (x,y,z) และ v = (x
&rsqu