เวกเตอร์

posted on 23 Dec 2007 14:02 by kent2230

 

การบอกปริมาณบางอย่างที่ต้องระบุทั้งขนาดและทิศทาง เช่นความเร็ว ความเร่ง แรง จะเรียก

ปริมาณเหล่านี้ว่า ปริมาณเวกเตอร์ (vector) จะใช้ a ,b ,g ,… แทนเวกเตอร์ และใช้ a , b, c,…

แทนสเกลาร์

เวกเตอร์ในระนาบ (vectors in the Plane)

เซตของจุดในระนาบ จะสมนัยกับเซตของคู่อันดับ (x,y) โดยที่ x, y เป็นจำนวนจริง ดังนั้น จุด P

 

หนึ่งจุด จะสมนัยกับคู่อันดับ (x,y) ได้ 1 คู่เท่านั้น เรียก (x,y) ว่าพิกัด (coordinate) ของจุด P ดังนั้น

 

จุด P ซึ่งมีพิกัด (x,y) จะเขียนแทนด้วย P(x,y) หรือ (x,y) จะใช้ R2 แทนเซตของจุดในระนาบและ

 

เรียก R2 ว่าปริภูมิ 2 มิติ (2 space)

 

พิจารณาเมตริกซ์ขนาด 2x1, X =  โดยที่ x, y Î R ให้ X สมนัยกับส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง

 

กำกับ ที่มีจุดเริ่มต้นO (0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) เขียนแทนด้วย

 

 

 

ลูกศรบน OP เป็นการบอกทิศทางจาก O ไป P

 

ขนาด (magnitude) ของส่วนของเส้นตรง คือความยาวของส่วนของเส้นตรง

 

ดังนั้นส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ สามารถใช้อธิบายแรง ความเร็ว ความเร่ง

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ มีจุดเริ่มต้น O(0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) จะสมนัยกับ

เมตริกซ์

 

 

นิยาม  เวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ aโดยที่ x,y Î R เรียก x,y ว่าเป็นส่วนประกอบ

ของ a y

 

เซตของเวกเตอร์ในระนาบจะสมนัย 1-1 กับเซตของส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ ดังนั้นส่วน

 

ของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับและเวกเตอร์จึงใช้แทนกันได้ ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับจะ

 

เรียกว่าเวกเตอร์

 

 

เนื่องจากเวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ขนาด 2X1 ดังนั้น

 

เวกเตอร์ a 1 = และ a 2 =

 

จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ x1 = x2 และ y1 = y2

 

ตัวอย่าง เวกเตอร์

 

 

จากคุณสมบัติการเท่ากันของเวเตอร์ จะได้

 

a+b = 3

 

a-b = 2

 

ดังนั้น a = 5/2 และ b = 1/2

 

ให้ a =   และ b = เป็นเวกเตอร์ ในระนาบผลบวก (sum) ของ a และ b คือ

 

 

เวกเตอร์ 

 

a +b =

ตัวอย่าง ให้ u = และ v = จงหา u +v

                  

                 

                   u + v = =   

 

 

 

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ g ขนานกับ b และมีขนาดความยาวเท่ากับ b

 

จุดเริ่มต้นของ g คือจุด (x1,y1) ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของ a และจุดสิ้นสุดของ g คือ (x1+x2, y1+y2)ซึ่ง

 

คือ 

 

a + b นั่นเอง หรือ a + b เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของ a และ b นั่นเอง

 

 

 

 

ให้ aเป็นเวกเตอร์ และ c เป็นสเกลาร์ พหุคูณสเกลาร์ ของ a คือ c =  

 

ถ้า c > 0 แล้ว ca จะมีทิศทางเดียวกันกับ a

 

ถ้า c < 0 แล้ว ca จะมีทิศทางตรงข้ามกับ a

ตัวอย่าง ให้ c = 2 , d = -3 และ U = จงหา cU และ dU

 

cU  =     =

 

dU =    =