เวกเตอร์

posted on 23 Dec 2007 14:02 by kent2230

 

การบอกปริมาณบางอย่างที่ต้องระบุทั้งขนาดและทิศทาง เช่นความเร็ว ความเร่ง แรง จะเรียก

ปริมาณเหล่านี้ว่า ปริมาณเวกเตอร์ (vector) จะใช้ a ,b ,g ,… แทนเวกเตอร์ และใช้ a , b, c,…

แทนสเกลาร์

เวกเตอร์ในระนาบ (vectors in the Plane)

เซตของจุดในระนาบ จะสมนัยกับเซตของคู่อันดับ (x,y) โดยที่ x, y เป็นจำนวนจริง ดังนั้น จุด P

 

หนึ่งจุด จะสมนัยกับคู่อันดับ (x,y) ได้ 1 คู่เท่านั้น เรียก (x,y) ว่าพิกัด (coordinate) ของจุด P ดังนั้น

 

จุด P ซึ่งมีพิกัด (x,y) จะเขียนแทนด้วย P(x,y) หรือ (x,y) จะใช้ R2 แทนเซตของจุดในระนาบและ

 

เรียก R2 ว่าปริภูมิ 2 มิติ (2 space)

 

พิจารณาเมตริกซ์ขนาด 2x1, X =  โดยที่ x, y Î R ให้ X สมนัยกับส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง

 

กำกับ ที่มีจุดเริ่มต้นO (0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) เขียนแทนด้วย

 

 

 

ลูกศรบน OP เป็นการบอกทิศทางจาก O ไป P

 

ขนาด (magnitude) ของส่วนของเส้นตรง คือความยาวของส่วนของเส้นตรง

 

ดังนั้นส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ สามารถใช้อธิบายแรง ความเร็ว ความเร่ง

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ มีจุดเริ่มต้น O(0,0) และจุดสิ้นสุด P(x,y) จะสมนัยกับ

เมตริกซ์

 

 

นิยาม  เวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ aโดยที่ x,y Î R เรียก x,y ว่าเป็นส่วนประกอบ

ของ a y

 

เซตของเวกเตอร์ในระนาบจะสมนัย 1-1 กับเซตของส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ ดังนั้นส่วน

 

ของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับและเวกเตอร์จึงใช้แทนกันได้ ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับจะ

 

เรียกว่าเวกเตอร์

 

 

เนื่องจากเวกเตอร์ในระนาบ คือ เมตริกซ์ขนาด 2X1 ดังนั้น

 

เวกเตอร์ a 1 = และ a 2 =

 

จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ x1 = x2 และ y1 = y2

 

ตัวอย่าง เวกเตอร์

 

 

จากคุณสมบัติการเท่ากันของเวเตอร์ จะได้

 

a+b = 3

 

a-b = 2

 

ดังนั้น a = 5/2 และ b = 1/2

 

ให้ a =   และ b = เป็นเวกเตอร์ ในระนาบผลบวก (sum) ของ a และ b คือ

 

 

เวกเตอร์ 

 

a +b =

ตัวอย่าง ให้ u = และ v = จงหา u +v

                  

                 

                   u + v = =   

 

 

 

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางกำกับ g ขนานกับ b และมีขนาดความยาวเท่ากับ b

 

จุดเริ่มต้นของ g คือจุด (x1,y1) ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของ a และจุดสิ้นสุดของ g คือ (x1+x2, y1+y2)ซึ่ง

 

คือ 

 

a + b นั่นเอง หรือ a + b เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของ a และ b นั่นเอง

 

 

 

 

ให้ aเป็นเวกเตอร์ และ c เป็นสเกลาร์ พหุคูณสเกลาร์ ของ a คือ c =  

 

ถ้า c > 0 แล้ว ca จะมีทิศทางเดียวกันกับ a

 

ถ้า c < 0 แล้ว ca จะมีทิศทางตรงข้ามกับ a

ตัวอย่าง ให้ c = 2 , d = -3 และ U = จงหา cU และ dU

 

cU  =     =

 

dU =    =

 

 

 

 

 

สำหรับเวกเตอร์ a + (-1) b เขียนแทนด้วย a - b จะเรียกว่าผลต่างระหว่าง a และ b

 

 

 

 

เวกเตอร์ใน R3

 

จากการศึกษาเวกเตอร์ในระนาบสามารถขยายต่อสู่เวกเตอร์ใน R3 ด้วยการกำหนดระบบโคออดิ

เนต (coordinate system) โดยเลือกจุด origin ที่ (0,0,0)และกำหนดเส้นตรง 3 เส้นให้ตั้งฉากซึ่งกัน

และกันออกจุด origin นั้น จะเรียกเส้นตรงทั้ง 3 ว่า coordinate axes และเรียกเส้นตรงแต่ละเส้นว่า

x-axes , y-axes และ z-axes ตามลำดับ

 

ระบบโคออดิเนตเป็นดังภาพ รูป ก. เรียกว่า right-handed coordinate system

 

รูป ข. เรียกว่า left-hand coordinate system

 

รูป ค. แสดงทิศทางการหมุนของแกน z เมื่อ

หมุนแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกา

 

 

 

แต่ละจุดใน R3 สามารถแทนด้วยคู่ลำดับ (x,y,z) หรือ P(x,y,z)

 

เซตของทุกจุดใน R3 จะถูกแทนด้วย R3 หรือ 3-space

 

เวกเตอร์ใน R3 สามารถแทนด้วยเมตริกซ์ 3X1 ดังนี้

 

X =  

 

เมื่อ x,y,z เป็นสมาชิกของจำนวนจริง และเรียก x,y,z ว่าเป็นคอมโพเนต (component) ของเวกเตอร์

 

X

 

ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง  หมายถึง ส่วนหางของเส้นตรงอยู่ที่จุด (0,0,0) และส่วนหัวของเส้น

ตรงอยู่ที่จุด P(x,y,z) สามารถแทนส่วนของเส้นตรงด้วยเวกเตอร์ X ดังรูป 99 เวกเตอร์ X สามารถ

เขียนแทนด้วย (x,y,z)

 

สำหรับส่วนของเส้นตรง ซึ่งเริ่มต้นจากจุด P(x,y,z) และสิ้นสุดที่จุด Q (x,y,z) ใน R3 คอมโพ

เนตของเวกเตอร์ประกอบด้วย x - x, y – y, z – z

หมายเหตุ เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะเท่ากันหากคอมโพเนตของเวกเตอร์เท่ากัน

 

ดังนั้นเวกเตอร์ ซึ่งหมายถึง ปลายของเวกเตอร์อยู่ที่จุด (0,0,0) หัวของเวกเตอร์อยู่

 

ที่ P’’(x –x , y – y, z –z)  จะเท่ากับ

 

 

 

 

 

 

ถ้า U = และ V =  เป็นเวกเตอร์ใน R 3 และ c เป็นสเกลาร์ใดๆ ผลบวกเวก

 

เตอร์ และผลคูณสเกลาร์ได้รับการนิยามดังนี้

U+V =  และ cU =

 

 

ตัวอย่าง ให้

 

U =  V =

 

จงหาค่า U + V , -2U, 3U – 2V

 

U + V = =

 

-2 U=  =

 

3U – 2V = =

 

เวกเตอร์ศูนย์ใน R3

 

0 =

 

สำหรับเวกเตอร์ U ใดๆใน R3 U + 0 = U

 

เวกเตอร์ในทิศทางตรงข้ามของ U =   คือ
U =  และ U + -U = 0

 

ทฤษฎีบท ถ้า U, V และ W เป็นเวกเตอร์ใน R2 หรือ R3 c และ d เป็นสเกลาร์ใดๆใน R จะได้ว่า

 

  1. U + V = V +U
  2. U + (V+W) = (U+V) + W
  3. U + 0 = 0 + U = U
  4. U + (-U) = 0
  5. c(U+V) = cU + cV
  6. (c+d)U = cU + dU
  7. c(dU) = (cd)U
  8. 1U = U

 

 

ปริภูมิเวกเตอร์

 

นิยาม ให้ V ¹ F และมีการดำเนินการ 2 ชนิดบน V เรียกว่า การบวกเวกเตอร์ (vector addition)

และ การคูณด้วยสเกลาร์ (scalar multiplication) ซึ่งเขียนแทนด้วย Å  และÄ   ตามลำดับ และ

สอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้

 

  1. a Å b Î V
  2. a Å b = b Å a
  3. (a Å b ) Å g = a Å (b Å g )
  4. มี q ที่เป็นสมาชิกใน V ซึ่ง a Å q = a สำหรับทุก a Î V
  5. q นี้มีชื่อเรียกว่า เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector)

    5. แต่ละสมาชิก a Î V จะมีสมาชิกซึ่งเขียนแทนด้วย - a โดยที่ a Å (-a ) = q จะเรียกว่า -a ว่าเวกเตอร์ผกผันของ a ภายใต้ Å

    6. c Ä a Î V

    7. c Ä (a Å b ) = (c Ä a ) Å (c Ä b )

    8. (c+d) Ä a = (c Ä a ) Å (d Ä a )

    9. c Ä (d Ä a ) = (c Ä d) Ä a

    10. 1Ä  a = a

 

 

เรียก (V, Å , Ä ) ว่าปริภูมิเวกเตอร์

 

ตัวอย่าง ให้ Fn เป็นสมาชิกของ V โดยที่ V เป็นเซตของเมตริกซ์ขนาด nX1 และกำหนดการบวก

การคูณ ดังนี้

 

  Å     =

 

และ

 

c Ä =

 

โดยที่ cÎ R

 

(V, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์ หรือไม่

 

ตัวอย่าง ให้ Fn เป็นสมาชิกของ V โดยที่ V เป็นเซตของเมตริกซ์ขนาด 1Xn และกำหนดการบวก

การคูณ ดังนี้

 

[a1, a2, … , an] Å [b1,b2,…,bn] = [a1+b1,a2+b2,…,an+bn]

 

c Ä [a1 , a2, …,an] = [ca1,ca2,…,can]

 

(V, Å , Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

ตัวอย่าง ให้ F เป็นสมาชิกของ R โดยที่R เป็นเซตของจำนวนจริง กำหนดการบวก การคูณ

สำหรับ a ,b Î R ดังนี้

a Å b = a - b (Å ในที่นี้คือ การลบของจำนวนจริง)

 

และ c Ä a = c · a (Ä ในที่นี้คือ การคูณของจำนวนจริง)

 

(R, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

เนื่องจาก a Å b = a - b และ b Å a = b - a แต่ a - b ¹ b - a

 

ดังนั้น a Å b ¹ b Å a

 

สรุปได้ว่า (R, Å ,Ä ) ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์

 

 

 

ตัวอย่าง ให้ V = {(x,y,z) | x,y,z Î R} กำหนดการบวกและการคูณ ดังนี้

 

(x, y, z) Å (x ,y ,z) = (x, y+y , z+z)

 

c Ä (x, y, z) = (cx, cy, cz)

 

(V, Å ,Ä ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือไม่

 

ให้ u = (x,y,z) และ v = (x
,y,z)

 

เนื่องจาก u Å v = (x,y,z) Å (x,y,z) = (x, y+y , z+z)และ v Å u = (x

,y,z) Å (x,y,z) = (x,y+y, z+z)

 

ดังนั้น u Å v ¹ v Å u

 

เนื่องจาก (c + d) Ä u = (c + d) Ä (x,y,z)

 

= ((c+d)x , (c+d)y, (c+d)z)

 

และ (cÄ u ) Å (d Ä u) = (cx,cy,cz) Å (dx, dy,dz)

 

= (dx, cy + dy, cz+dz)

 

ดังนั้น (c + d) Ä u ¹ (cÄ u ) Å (d Ä v)

 

สรุปได้ว่า (v, Å ,Ä ) ไม่เป็นปริภูมิเวกเตอร์

 

 

 

ทฤษฎีบท ให้ V เป็นปริภูมิเวกเตอร์

 

 

  1. 0 Ä a = q สำหรับ ทุก a Î V
  2. c Ä q = q สำหรับ ทุก c Î R
  3. ถ้า c Ä a = q แล้ว c = 0 หรือ a = 0
  4. (-1) Ä a = -a สำหรับทุก a Î

 

 

 

สมการเส้นตรงใน R3

 

สมการเส้นตรงในระนาบมีสมการเป็น y = mx + b เมื่อ m แทนความชันของเส้นตรง และ b คือค่า

ของจุดที่เส้นตรงตัดแกน y สามารถเขียนสมการเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์โดยใช้จุดและทิศทาง

ของเส้นตรง ดังนี้  

ให้ v เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับเส้นตรง

ให้ u0 =    เป็นเวกเตอร์
ที่มีขนาดเท่ากับค่า y-intercept ของเส้นตรง มีจุดปลายที่ P0(0,b)

 สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด P0 และขนานกับเวกเตอร์ v จะผ่านจุด P(x,y) ดังนั้นจะได้เวกเตอร์

 

u = ดังภาพ   

 

 

 

 

เส้นตรงใน R3กำหนดด้วยทิศทางและจุดหนึ่งจุด ให้ V = เป็นเวกเตอร์ ใน R3 และไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ เส้น

ตรง l0 ผ่านจุด (0,0,0) และขนานกับ c เวกเตอร์ V จุด P(x,y,z) ใดๆบน l0มี

 

ค่า position vector U = = t  = tV , -µ < t < µ ดังรูป 99 ให้ P0 (x0,y0,z0) เป็นจุดใน R3

 

ให้ U0เป็น position vector ของจุด P0 เมื่อเส้นตรง l ผ่านจุด P0 และขนานกับเวกเตอร์ V

 

จุด
P(x,y,z) ใดๆบนเส้นตรง l ซึ่งมี position vector U =

         

                             จะได้                 U= U0 + tV                 , -µ < t <µ ………..(1)

 

 

เรียกสมการ (1) ว่า parametric equation ของ l หรืออาจเขียนในรูปคอมโพเนตได้ว่า

          x = x0 + ta

          y = y0 + tb                 -µ < t <µ

       z = z0 + tc

 

 

 

 

ตัวอย่าง จงหาสมการพาราเมตริกซ์ ของเส้นตรงที่ผ่านจุด P0(-3,2,1) และขนานกับเวกเตอร์

 

v =

 

สมการพาราเมตริกซ์ที่ได้ คือ

                            x = -3 + 2t

                            y = 2 -3t -µ < t <µ

                            z = 1 + 4t

 

ตัวอย่าง จงหาสมการพาราเมตริกซ์ของเส้นตรงที่ผ่านจุด P0(2,3,-4) และ P1(3,-2,5)

 

เส้นตรงขนานกับเวกเตอร์ 

 

V = =

         

 

สมการพาราเมตริกซ์ที่ผ่านจุด P0 เป็น

                                       

                                         x = 2 - t

y = 3 + t                              -µ < t <µ

                                        z = -4 + 9t

 

ขนาดของเวกเตอร์ใน R2และR3

 

เมื่อกล่าวถึงเวกเตอร์ จะต้องระบุทั้งขนาดและทิศทาง การหาขนาดหรือความยาวของเวกเตอร์ ใน

R2 จะอาศัยทฤษฎีพีทากอรัส (Pythagorean theorem) และแทนขนาดของเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์

 

||V||

                                                                   

 

 

 

 ตัวอย่าง ถ้า V =    จงหาขนาดของ V

 

 ถ้า U = และ V = เป็นเวกเตอร์ใน R2ระยะทางระหว่าง U และ V ได้รับการกำหนดดังนี้ u2 v2

 

ตัวอย่าง จงหาระยะทางระหว่างเวกเตอร์

U = และ V =

                                                                        = 5

 

 

การหาขนาดของ V =   ใน R3 โดยใช้ทฤษฎีของพิทากอรัส

 

 

ขนาดของ V แทนด้วย ||V||

 

จะได้ว่าเวกเตอร์ศูนย์มีขนาดเป็น 0 

 

 

 

 

 

ถ้า U =   และ V =  แล้ว U – V = ดังนั้น

 

 

ตัวอย่าง จงหาความยาวของเวกเตอร์ V =

 

 

ตัวอย่าง จงหาระยะทางระหว่างเวกเตอร์

 

                U = V =

 

ทิศของเวกเตอร์ใน R2ก่อให้เกิดมุมและความชัน ทิศของเวกเตอร์ใน R3 จะให้ค่ามุมที่กระทำกับ

แกน x แกน y และ แกน z ซึ่งเรียกว่า direction cosine

 

 

จะพิจารณามุมระหว่าง 2 เวกเตอร์ q 0£ q £ P ใน R2 และ R3

 

ให้ U =    และ V =

 

จากกฎของ cosine

 

||V- U||2 = ||U||2 + ||V||2 - 2||U||||V||cos q

จะได้

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

สำหรับ R2 ถ้า U =   และ V =

 

 

มุมระหว่างเวกเตอร์ U กับ V มีค่าเป็น

หมายเหตุ เวกเตอร์ศูนย์ได้รับการนิยามให้มีทิศทางใดๆ

 

ตัวอย่าง ให้ U =  และ V =  มุมระหว่าง U และ V มีค่า

 

 

เมื่อ 0 £ q £ P จะได้ q = 600

 

Inner Product นิยาม ให้ U =  และ V =  เป็นเวกเตอร์ ใน R2 Inner Product หรือ dot

product บน R2 ได้รับการนิยาม ดังนี้

 U· V = u1v1 + u2v2

 

ให้ U =   และ V = เป็นเวกเตอร์ใน R3 Inner Product หรือ Dot Product บน R3 ได้รับการ

 

นิยาม ดังนี้

U· V = u1v1 + u2v2 + u3v3

 

 

ตัวอย่าง ถ้าเวกเตอร์ U =  และ V =  แล้ว dot product มีค่าเป็น

U· V = 2X4 + 3X2 2X-1 = 12

 

จากนิยามของ inner produect และ สมการที่ (2) (3) จะได้ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ใน R2

หรือ R3 มีค่าดังสมการ

 

 

ทฤษฎีบท เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ ใน R2 หรือ R3 ตั้งฉากซึ่งกันและกัน ก็ต่อเมื่อ U· V = 0

 

 

 

 

ทฤษฎีบท ให้ U,V และ W เป็นเวกเตอร์ใน R2หรือ R3 และให้ c เป็นสเกลาร์ใดๆ inner product บน

R2 หรือ R3 มีคุณสมบัติต่อไปนี้

 

  1. U· V > 0 ถ้า U ¹ 0 ; U · U = 0 ก็ต่อเมื่อ U = 0
  2. U· V = V· U
  3. (U + V) · W = U· W + V· W
  4. cU· V = c(U· V) เมื่อ c เป็นสเกลาร์ใดๆ

 

 

Unit Vector

 

นิยาม ให้ X เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มิใช่เวกเตอร์ศูนย์ unit vectorใน R2 และ R3 คือเวกเตอร์ขนาด 1

หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ X

 

ตัวอย่าง ให้ X =  จงหา unit vector ของ เวกเตอร์ X

 

 

                                                                            = 5

 

unit vector มีค่า X = 1/5  =

 

 

หมายเหตุ

 

Special unit vector ใน R2 คือ i =  และ j =

 

Special unit vector ใน R3 คือ i = j = k =

 

 

 

 

 

Cross Product ใน R3

 

ให้ U = u1i+ u2j + u3k และ V = v1i + v2j + v3k จะหาเวกเตอร์ W = ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ U

และV

 

เนื่องจาก U · W = u1x + u2y + u3z = 0

               V · W = v1x + v2y + v3z = 0

 

จากการแก้สมการจะได้

 

W = หรือ W = (u2v3 – u3v2) i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2-u2v1)k …………..(4)

 

จะเรียก W ว่าเป็น cross product vector ของ U และ V และแทนด้วยสัญลักษณ์ UXV

 

ตัวอย่าง ให้ U = 2i + j + 2k และ V = 3i – j - 3k จงหา cross product ของ เวกเตอร์ U และ V

 

U X V = (u2v3 – u3v2) i + (u3v1 – u1v3)j +

(u1v2-u2v1)k

                                        

                                       = - i + 12j - 5k

 

 

ทฤษฎีบท ให้ U และ V เป็นเวกเตอร์ใน R3 และ c เป็นสเกลาร์ใดๆ การดำเนินการ cross product

สอดคล้องกับคุณสมบัติดังนี้

 

  1. U X V = -(V X U)
  2. U X (V + W) = U X V + U X W
  3. (U + V) X W = U X W + V X W
  4. c(U X V) = (cU) X V = U X (cV)
  5. U X U = 0
  6. 0 X U = U X 0 = 0
  7. U X (V X W) = (U · W) V - (U · V)W
  8. (U X V) X W = (W · U)V – (W· V)U

 

ตัวอย่าง จากสมการที่ 4 จะได้ว่า iXi = jXj = kXk = 0

                                                    iXj=k, jXk = i, kXi=j

                                       ดังนั้น j X i = -k , k X j = -i , iXk = -j

 

การหาขนาดของ ||UXV||

 

||UXV||2 = (UXV)· (UXV)

 

              = U · [VX(UXV)]

              = U· [(V· V)U-(V· U)V]

              = (U· U)(V· V)-(V· U)( V· U)

              = ||U||2||V||2 – (U· V)2

 

เนื่องจาก U· V = ||U||||V||cosq

 

||UXV||2 = ||U||2||V||2 - ||U||2||V||2cos2q

 

             = ||U||2||V||2(1-cos2q )

             = ||U||2||V||2sin2q

 

 

 

 

edit @ 23 Dec 2007 17:02:19 by Kent

Comment

smilebig smileopen-mounthed smileconfused smilesad smileangry smiletonguequestionembarrassedsurprised smilewinkdouble winkcry ???????????????   ??????????????????
smilebig smileopen-mounthed smileconfused smilesad smileangry smiletonguequestionembarrassedsurprised smilewinkdouble winkcry ???????????????

Tweet